【統計学入門（東京大学出版会）】第10章練習問題解答

東京大学出版会から出版されている統計学入門（基礎統計学Ⅰ）について第10章の練習問題の解答を書いていく。

本章以外の解答
10.1
10.2
10.3
- i)
- ii)
10.4
10.5
10.6
10.7
- i)
- ii)
- iii)
- iv)
- v)
10.8
10.9
- i)
- ii)

本章以外の解答

本章以外の練習問題の解答は別の記事で公開している。
必要に応じて参照されたい。

10.1

誤差 $e$ の分布が $N(0, 0.1)$ であるから、その期待値は $E(e) = 0$ となる。したがって、測定値の標本分布 $\bar{X}$ の期待値は $E(\bar{X}) = 100 + E(e) = 100$ である。

一方で分散 $V(\bar{X})$ は、

$\begin{align} V(\bar{X}) &= \frac{V(e)}{n} \\ &= \frac{0.1}{10} \\ &= 0.01 \end{align}$

となる。

以上から、測定値の標本 $\bar{X}$ の分布は $N(100, 0.01)$ と求まる。

$N(100, 0.01)$ を $N(0, 1)$ に標準化する場合、

$\begin{align} z = \frac{\bar{X} - 100}{\sqrt{0.01}} \end{align}$

となるから、両側の確率を求めることに注意すると、

$\begin{align} P \left( |\bar{X} - 100|) \gt 0.3 \right) &= P \left( |z| \gt 3 \right) \\ &= 2 \cdot P \left( z \gt 3 \right) \end{align}$

を満たす確率を求めればよい。上記の確率を求めるPythonプログラムは次のとおりである。

from scipy.stats import norm

print(2 * norm.sf(x=3, loc=0, scale=1))

上記のプログラムを実行すると、次の結果が得られる。

0.0026997960632601866

10.2

測定回数を $n$ とすると10.1と同様、期待値は $E(\bar{X}) = 100$ 、分散 $V(\bar{X})$ は、

$\begin{align} V(\bar{X}) &= \frac{V(e)}{n} \\ &= \frac{0.1}{n} \end{align}$

であるから、標準化により、

$\begin{align} z = \frac{\bar{X} - 100}{\sqrt{\frac{0.1}{n}}} \end{align}$

を得る。

したがって、

$\begin{align} P \left( | \bar{X} - 100 | \lt 0.1 \right) &= P \left( \frac{\sqrt{0.1} z}{\sqrt{n}} \lt 0.1 \right) \\ &= 1 - P \left( |z| \ge \sqrt{\frac{n}{10}} \right) \\ &= 1 - 2 \cdot P \left( z \ge \sqrt{\frac{n}{10}} \right) \\ &\ge 0.9 \end{align}$

から、

$\begin{align} P \left( z \ge \sqrt{\frac{n}{10}} \right) &\lt 0.05 \end{align}$

を満たす $n$ を求めればよい。

なお、この式を満たす $z$ は、次のPythonプログラムによって求められる。

from scipy.stats import norm

print(norm.ppf(q=1-0.05, loc=0, scale=1))

結果は、

1.6448536269514722

である。したがって $n$ は、

$\begin{align} 1.6448536269514722 \lt \sqrt{\frac{n}{10}} \end{align}$

より $n \ge 27.06$ と求まるから、測定を28回以上繰り返す必要がある。

10.3

i)

正規母集団から標本を抽出するため、その標本平均の標本分布は $N( \mu, \sigma^{2} / n )$ に従う。したがってその標準化、

$\begin{align} Z = \frac{ \bar{X} - \mu }{ \sqrt{ \frac{\sigma^{2}}{n} } } \end{align}$

は標準正規分布 $N(0, 1)$ に従う。

したがって標準平均 $\bar{X}$ が3と6にある確率は、

$\begin{align} P \left( 3 \le \bar{X} \le 6 \right) &= P \left( \frac{3 - \mu }{ \sqrt{ \frac{\sigma^{2}}{n} } } \le \frac{\bar{X} - \mu }{ \sqrt{ \frac{\sigma^{2}}{n} } } \le \frac{6 - \mu }{ \sqrt{ \frac{\sigma^{2}}{n} } } \right) \\ &= P \left( -0.8165 \le z \le 1.633 \right) \\ & = P \left( 0 \le z \le 0.8165 \right) + P \left( 0 \le z \le 1.633 \right) \end{align}$

で求めることができる。これをPythonプログラムを使って求める。

from scipy.stats import norm

x1 = 0.5 - norm.sf(x=0.8165, loc=0, scale=1)
x2 = 0.5 - norm.sf(x=1.633, loc=0, scale=1)
print(x1 + x2)

上記のプログラムを実行すると、

0.7416583899007179

が得られる。

ii)

標本分散 $s^{2}$ は、 $\chi^{2}$ 分布と次のような関係がある。

$\begin{align} \chi^{2} = \frac{(n-1) s^{2}}{\sigma^{2}} \end{align}$

したがって $s^{2}$ が $a$ を超える確率が0.05であるという条件より、

$\begin{align} P \left( s^{2} \gt a \right) &= P \left( \frac{(n-1) s^{2}}{\sigma^{2}} \gt \frac{(n-1) a}{\sigma^{2}} \right) \\ &= P \left( \chi^{2} \gt \frac{(n-1) a}{\sigma^{2}} \right) \\ &= 0.05 \end{align}$

が得られるから、この式を満たす自由度 $10-1 = 9$ の $\chi^{2}$ の値を求める。

from scipy.stats import chi2

print(chi2.ppf(q=1-0.05, df=9))

上記のプログラムより、以下の結果が得られる。

16.918977604620448

したがって、

$\begin{align} \frac{(n-1) a}{\sigma^{2}} &= \frac{9a}{15} \\ &= 16.918977604620448 \end{align}$

を満たす $a$ は、28.198となる。

10.4

母集団の分散が未知であるから、スチューデントのt分布を利用する。

$\begin{align} t &= \frac{\bar{X} - \mu}{\sqrt{\frac{s^{2}}{n}}} \\ &= \frac{\bar{X} - 3}{\frac{s}{\sqrt{15}}} \end{align}$

これを用いて、

$\begin{align} P \left( \frac{\bar{X} - 3}{s} \gt a \right) &= P \left( \frac{1}{\sqrt{15}} t \gt a \right) \\ &= P\left( t \gt \sqrt{15} a \right) \\ &= 0.01 \end{align}$

この式を満たす自由度 $15 - 1 = 14$ の $t$ の値を求める。

from scipy.stats import t

print(t.ppf(q=1-0.01, df=14))

より、

2.624494067560231

と求まる。したがって、

$\begin{align} 2.624494067560231 = \sqrt{15} a \end{align}$

を満たす $a$ の値を求めればよく、その値は $a = 0.6776$ である。

10.5

2標本問題である。いずれの母集団の母平均と母分散が既知であるから、標本平均 $\bar{X}$ と $\bar{Y}$ の差は正規分布、

$\begin{align} N \left( \mu_{1} - \mu_{2}, \frac{\sigma_{1}^{2}}{m} + \frac{\sigma_{2}^{2}}{n} \right) \end{align}$

に従う。

各値を代入すると、

$\begin{align} N \left( \mu_{1} - \mu_{2}, \frac{\sigma_{1}^{2}}{m} + \frac{\sigma_{2}^{2}}{n} \right) &= N \left( -3, \frac{4}{5} \right) \end{align}$

が得られる。

10.6

母分散が既知のときに2つの標本分散の比を求めるときは、F分布

$\begin{align} F = \frac{\sigma_{2}^{2} s_{1}^{2}}{\sigma_{1}^{2} s_{2}^{2}} \end{align}$

を利用するのが便利である。

$\begin{align} P \left( \frac{s_{1}^{2}}{s_{2}^{2}} \gt c \right) &= P \left( F \gt \frac{\sigma_{2}^{2}}{\sigma_{1}^{2}} c \right) \\ &= P \left( F \gt \frac{4}{3} c \right) \\ &= 0.05 \end{align}$

この式を満たす自由度 $k_{1} = 10 - 1 = 9, k_{2} = 8 - 1 = 7$ の $F$ の値を求める。

from scipy.stats import f

print(f.ppf(q=1-0.05, dfn=9, dfd=7))

より、

3.6766746989395105

と求まる。

したがって、

$\begin{align} 3.6766746989395105 = \frac{4}{3} c \end{align}$

を満たす $c$ の値を求めればよく、その値は $c = 2.7575$ である。

10.7

i)

母平均 $\mu$ 、母分散 $\sigma^{2}$ とすると、標本平均の分布は $N(\mu, \sigma^{2} / 10)$ となる。したがって標準化、

$\begin{align} z = \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma} \sqrt{10} \end{align}$

を考えると、

$\begin{align} P \left( | \bar{X} - \mu | \gt 0.8 \sigma \right) &= P \left( \frac{| \bar{X} - \mu |}{\sigma} \gt 0.8 \right) \\ &= P \left( |z| \gt 0.8 \right) \\ &= 2 \cdot P \left( z \gt 0.8 \right) \\ &= 0.4237 \end{align}$

なお、最後は次のPythonプログラムによって求めた。

from scipy.stats import norm

print(2 * norm.sf(x=0.8, loc=0, scale=1))

ii)

自由度が $10 - 1 = 9$ であることに注意してスチューデントのt分布

$\begin{align} t = \frac{\bar{X} - \mu}{\sqrt{\frac{s^{2}}{n}}} \end{align}$

を用いると、

$\begin{align} P \left( | \bar{X} - \mu | \gt 0.8 s \right) &= P \left( \frac{| \bar{X} - \mu |}{s} \gt 0.8 \right) \\ &= P \left( |t| \gt 0.8 \right) \\ &= 2 \cdot P \left( t \gt 0.8 \right) \\ &= 0.4443 \end{align}$

なお、最後は次のPythonプログラムによって求めた。

from scipy.stats import t

print(2 * t.sf(x=0.8, df=9))

iii)

自由度が $10 - 1 = 9$ であることに注意して $\chi^{2}$ 分布

$\begin{align} \chi^{2} = \frac{(n - 1) s^{2}}{\sigma^{2}} \end{align}$

を用いると、

$\begin{align} 1 - P \left( \frac{1}{2} \lt \frac{s^{2}}{\sigma^{2}} \lt 2 \right) &= 1 - P \left( \frac{9}{2} \lt 9 \cdot \frac{s^{2}}{\sigma^{2}} \lt 18 \right) \\ &= 1 - P \left( \frac{9}{2} \lt \chi^{2} \lt 18 \right) \\ &= 1 - \left( P \left( \chi^{2} \gt \frac{9}{2} \right) - P \left( \chi^{2} \gt 18 \right) \right) \\ &= 0.1596 \end{align}$

なお、最後は次のPythonプログラムによって求めた。

from scipy.stats import chi2

print(1- (chi2.sf(x=9/2, df=9) - chi2.sf(x=18, df=9)))

iv)

2標本問題である。

自由度が $10 - 1 = 9, 10 - 1 = 9$ のスチューデントのt分布

$\begin{align} t = \frac{ (\bar{X} - \bar{Y}) - (\mu_{1} - \mu_{2}) }{ s \sqrt{\frac{1}{m} + \frac{1}{n}} } \end{align}$

を用いると、母平均が等しい（すなわち、 $\mu_{1} = \mu_{2}$ ）ことに注意して、

$\begin{align} P \left( |\bar{X} - \bar{Y}| \ge 3s \right) &= P \left( \frac{|\bar{X} - \bar{Y} - (\mu_{1} - \mu_{2})|}{s \sqrt{\frac{1}{10} + \frac{1}{10}}} \ge \frac{3}{\sqrt{\frac{1}{10} + \frac{1}{10}}} \right) \\ &= P \left( |t| \ge 3 \sqrt{5} \right) \\ &= 0.0045718554422791826 \end{align}$

なお、最後は次のPythonプログラムによって求めた。

from scipy.stats import f
from math import sqrt

print(f.sf(x=3 * sqrt(5), dfn=9, dfd=9))

v)

2標本問題である。

自由度が $10 - 1 = 9, 10 - 1 = 9$ のF分布

$\begin{align} F &= \frac{\sigma_{2}^{2}}{\sigma_{1}^{2}} \cdot \frac{s_{1}^{2}}{s_{2}^{2}} \end{align}$

と母分散が等しい $\sigma_{1}^{2} = \sigma_{2}^{2}$ ことを用いて、

$\begin{align} P \left( \frac{s_{2}^{2}}{s_{1}^{2}} \ge 3 \right) + P \left( \frac{s_{1}^{2}}{s_{2}^{2}} \ge 3 \right) &= P \left( \frac{\sigma_{2}^{2}}{\sigma_{1}^{2}} \cdot \frac{s_{2}^{2}}{s_{1}^{2}} \ge 3 \right) + P \left( \frac{\sigma_{1}^{2}}{\sigma_{2}^{2}} \cdot \frac{s_{1}^{2}}{s_{2}^{2}} \ge 3 \right) \\ &= P \left( F \ge 3 \right) + P \left( F \le \frac{1}{3} \right) \\ &= P \left( F \ge 3 \right) + 1 - P \left( F \ge \frac{1}{3} \right) \\ &= 0.1173 \end{align}$

なお、最後は次のPythonプログラムによって求めた。

from scipy.stats import f

print(f.sf(x=3, dfn=9, dfd=9) + 1 - f.sf(x=1/3, dfn=9, dfd=9))

10.8

母集団分布が2次元の正規分布であるから、z変換を行った結果が標準正規分布になることを用いる。

$\begin{align} z = \frac{1}{2} \ln \left( \frac{1+r}{1-r} \right) \\ \eta = \frac{1}{2} \ln\left( \frac{1+\rho}{1-\rho} \right) \end{align}$

このとき、

$\begin{align} \sqrt{n-3} (z-\eta) = N(0, 1) \end{align}$

が確率0.95の範囲に収まるような $c_{1}, c_{2}$ を求めることになる。すなわち、

$\begin{align} -1.96 \le \sqrt{12} (z - \eta) \le 1.96 \end{align}$

を満たせばよい。なお標準正規分布で確率0.95（上側確率0.05）となる値は、次のPythonプログラムによって求めた。

from scipy.stats import norm

print(norm.ppf(q=(1-0.95)/2, loc=0, scale=1))

ここで、 $\rho = 15$ であるから、

$\begin{align} \eta &= \frac{1}{2} \ln \left( \frac{1+0.6}{1-0.6} \right) \\ &= 0.693147 \end{align}$

と求まる。したがって、

$\begin{align} 0.127344 \le z \le 1.25895 \end{align}$

一方で、

$\begin{align} r = \frac{e^{2z} - 1}{e^{2z} + 1} \end{align}$

であるから、

$\begin{align} 0.1267 \le r \le 0.8508 \end{align}$

が得られ、 $c_{1} = 0.1267, c_{2} = 0.8508$ と求まる。

10.9

i)

(a)

自由度nの $\chi_{(n)}^{2}$ 分布の定義は、 $z$ を標準正規分布に従う確率変数として、

$\begin{align} \chi_{(n)}^{2} = \sum_{k=1}^{n} z_{(k)}^{2} \end{align}$

である。したがって、自由度1の $\chi_{(1)}^{2}$ 分布は、

$\begin{align} \chi_{(1)}^{2} = z_{(1)}^{2} \end{align}$

となるが、 $\chi_{1}^{2}$ 分布は上側確率のみを与えるので、このための補正を行うと、

$\begin{align} \chi_{\alpha (1)}^{2} = z_{\frac{\alpha}{2} (1)}^{2} \end{align}$

が得られる。

(b)

本書より、自由度 $k$ のスチューデントのt分布の2乗 $t_{(k)}^{2}$ は、F分布 $F_{(1, k)}$ に従う。ただしt分布は両側確率を与えるものである一方、F分布は上側確率のみを与えるから、(a)の議論と同様に補正を行って、

$\begin{align} t_{\frac{\alpha}{2} (k)}^{2} = F_{\alpha (1, k)} \end{align}$

が得られる。

(c)

$k = 120$ であるから、 $k$ が十分に大きい値であると考えることができる。つまり、標本数を $\infty$ として考えてよく、このとき標本分散 $s^{2}$ は母分散 $\sigma^{2}$ に近づく。したがって、

$\begin{align} t_{\alpha (k)} &= \frac{z_{\alpha (k \ge 120)}}{\sqrt{ \frac{s^{2}}{\sigma^{2}} }} \\ &\rightarrow \frac{z_{\alpha (k \ge 120)}}{\sqrt{ \frac{\sigma^{2}}{\sigma^{2}} }} \\ &= z_{\alpha (k \ge 120)} \end{align}$

ii)

i)の各値を求めるPythonプログラムを次に示す。

from scipy.stats import norm, chi2, t, f

alpha = 0.05
k = 120

print("=== (a) ===")
print("Z2: {}".format(norm.ppf(q=1-alpha/2, loc=0, scale=1)**2))
print("chi2: {}".format(chi2.ppf(q=1-alpha, df=1)))

print("=== (b) ===")
print("t2: {}".format(t.ppf(q=1-alpha/2, df=k)**2))
print("F: {}".format(f.ppf(q=1-alpha, dfn=1, dfd=k)))

print("=== (c) ===")
print("t: {}".format(t.ppf(q=1-alpha, df=k)))
print("Z: {}".format(norm.ppf(q=1-alpha, loc=0, scale=1)))

上記のプログラムを実行すると、次のような結果が得られる。

=== (a) ===
Z2: 3.8414588206941254
chi2: 3.841458820694124
=== (b) ===
t2: 3.9201244088524523
F: 3.9201244089699054
=== (c) ===
t: 1.6576508993473795
Z: 1.6448536269514722

137

機械学習関連の技術記事を投稿します。137と言えば微細構造定数

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