【統計学入門（東京大学出版会）】第7章練習問題解答

東京大学出版会から出版されている統計学入門（基礎統計学Ⅰ）について第7章の練習問題の解答を書いていく。

本章以外の解答
7.1
- i)
- ii)
7.2
- i)
- ii)
- iii)
7.3
- 7.4
7.5
7.6
- i)
- ii)
- iii)
7.7
- i)
- ii)
7.8
- i)
- ii)
- iii)
7.9
- i)
- ii)
- iii)

本章以外の解答

本章以外の練習問題の解答は別の記事で公開している。
必要に応じて参照されたい。

7.1

i)

$E(X) = \mu_{X}$ かつ $E(Y) = \mu_{Y}$ とすると、共分散 ${\rm Cov} (X, Y)$ の定義より、

$\begin{align} {\rm Cov} (X, Y) &= E( (X - \mu_{X})(Y - \mu_{Y}) ) \\ &= E(XY) - \mu_{X} E(Y) - \mu_{Y} E(X) + \mu_{X} \mu_{Y} \\ &= E(XY) - \mu_{X}\mu_{Y} \end{align}$

が得られ、

$\begin{align} V(X, Y) &= E( ( (X+Y) - (\mu_{X} + \mu_{Y}) )^{2} ) \\ &= E( (X + Y)^{2} ) - 2 ( \mu_{X} + \mu_{Y} ) E( X + Y ) + (\mu_{X} + \mu_{Y})^{2} ) \\ &= E( X^{2} + 2XY + Y^{2} ) - (\mu_{X} + \mu_{Y})^{2} \\ &= E( X^{2} ) - \mu_{X}^{2} + E( Y^{2} ) - \mu_{Y}^{2} + 2 ( E( XY ) - \mu_{X} \mu_{Y} ) \\ &= V(X) + V(Y) + 2 {\rm Cov} (X, Y) \end{align}$

が得られる。

ii)

i)と同様にして、

$\begin{align} V(X, Y) &= E( ( (aX+bY) - (a \mu_{X} + b \mu_{Y}) )^{2} ) \\ &= E( (aX + bY)^{2} ) - 2 (a \mu_{X} + b \mu_{Y} ) E( aX + bY ) + (a \mu_{X} + b \mu_{Y})^{2} ) \\ &= E( a^{2}X^{2} + 2abXY + b^{2}Y^{2} ) - (a^{2} \mu_{X}^{2} + 2ab \mu_{X} \mu_{Y} + b^{2} \mu_{Y}^{2}) \\ &= a^{2} (E(X^{2}) - \mu_{X}^{2}) + b^{2} ( E(Y^{2}) - \mu_{Y}^{2} ) + 2ab ( E(XY) - \mu_{X} \mu_{Y} ) \\ &= a^{2} V(X) + b^{2} V(Y) + 2ab {\rm Cov} (X, Y) \end{align}$

7.2

i)

期待値

$\begin{align} E(R_{p}) &= E( xR_{1} + (1 - x)R_{2} ) \\ &= xE(R_{1}) + (1 - x)E(R_{2}) \\ &= x e_{1} + (1 - x) e_{2} \end{align}$

分散

$\begin{align} V(R_{p}) &= V( xR_{1} + (1 - x)R_{2} ) \\ &= x^{2}V(R_{1}) + (1 - x)^{2}V(R_{2}) + 2 {\rm Cov} (xR_{1}, (1 - x)R_{2}) \\ &= x^{2} \sigma_{1}^{2} + (1 - x)^{2} \sigma_{2}^{2} + 2 \rho \sqrt{ x^{2} \sigma_{1}^{2}} \sqrt{(1 - x)^{2} \sigma_{2}^{2}} \\ &= (\sigma_{1}^{2} - 2 \rho \sigma_{1} \sigma_{2} + \sigma_{2}^{2} ) x^{2} + 2 \sigma_{2} ( \rho \sigma_{1} - \sigma_{2} ) x + \sigma_{2}^{2} \end{align}$

ii)

i)で求めた分散 $V(R_{p})$ を式変形すると、

$\begin{align} V(R_{p}) &= (\sigma_{1}^{2} - 2 \rho \sigma_{1} \sigma_{2} + \sigma_{2}^{2} ) x^{2} + 2 \sigma_{2} ( \rho \sigma_{1} - \sigma_{2} ) x + \sigma_{2}^{2} \\ &= (\sigma_{1}^{2} - 2 \rho \sigma_{1} \sigma_{2} + \sigma_{2}^{2} ) \left( x + \frac{\sigma_{2} ( \rho \sigma_{1} - \sigma_{2} )}{(\sigma_{1}^{2} - 2 \rho \sigma_{1} \sigma_{2} + \sigma_{2}^{2} )} \right)^{2} - \left( \frac{\sigma_{2} ( \rho \sigma_{1} - \sigma_{2} )}{\sigma_{1}^{2} - 2 \rho \sigma_{1} \sigma_{2} + \sigma_{2}^{2}} \right)^{2} + \sigma_{2}^{2} \\ &\equiv \alpha ( x - \gamma )^{2} + \beta \end{align}$

が得られる。

なお、 $\alpha$ は $-1 \le \rho \le 1$ より、

$\begin{align} \alpha &\equiv \sigma_{1}^{2} - 2 \rho \sigma_{1} \sigma_{2} + \sigma_{2}^{2} \\ &= (\sigma_{1} - \sigma_{2})^{2} + 2\sigma_{1}\sigma_{2} (1 - \rho) \\ & \ge 0 \end{align}$

となり、 $V(R_{p})$ は下に凸の関数であることがわかる。

ここで $0 \le x \le 1$ を考慮すると、最小値をとる $x$ の値は $\gamma$ の値によって変わることに注意する。

	$\gamma$ の値	$V(R_{p})$ が最小となる $x$
①	$\gamma \le 0$	$x = 0$
②	$0 \lt \gamma \lt 1$	$x = \gamma$
③	$\gamma \ge 1$	$x = 1$

① $\gamma \le 0$

$\gamma \le 0$ 、すなわち $\rho \ge \frac{\sigma_{2}}{\sigma_{1}}$ のとき、 $x = 0$ で $V(R_{p})$ が最小値をとる。

したがって $x = 0$ を $V(R_{p})$ に代入すると、 $min(V(R_{p})) = \sigma_{2}^{2}$ が得られる。

② $0 \lt \gamma \lt 1$

$0 \lt \gamma \lt 1$ のときは、 $x = \gamma$ で $V(R_{p})$ が最小値をとる。

なお $\gamma$ は、

$\displaystyle \gamma \equiv - \frac{\sigma_{2} ( \rho \sigma_{1} - \sigma_{2} )}{\sigma_{1}^{2} - 2 \rho \sigma_{1} \sigma_{2} + \sigma_{2}^{2} }$

である。

したがって $x = \gamma$ を $V(R_{p})$ に代入すると、

$\begin{align} min( V(R_{p}) ) &= (\sigma_{1}^{2} - 2 \rho \sigma_{1} \sigma_{2} + \sigma_{2}^{2} )\gamma^{2} + 2 \sigma_{2} ( \rho \sigma_{1} - \sigma_{2} ) \gamma + \sigma_{2}^{2} \\ &= \frac{\sigma_{1}^{2} \sigma_{2}^{2} ( 1 - \rho^{2})}{\sigma_{1}^{2} - 2 \rho \sigma_{1} \sigma_{2} + \sigma_{2}^{2} } \end{align}$

が得られる。

③ $\gamma \ge 1$

$\gamma \ge 1$ 、すなわち $\rho \ge \frac{\sigma_{1}}{\sigma_{2}}$ のとき、 $x = 1$ で $V(R_{p})$ が最小値をとる。

したがって $x = 1$ を $V(R_{p})$ に代入すると、 $min(V(R_{p})) = \sigma_{1}^{2}$ が得られる。

iii)

$E(R_{p})$ と $V(R_{p})$ を描画するPythonプログラムを次に示す。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt


e1 = 0.198
e2 = 0.055
sigma1 = 0.357
sigma2 = 0.203
rho = 0.18

x = np.arange(0, 5, 0.01)
E = x * e1 + (1 - x) * e2
V = (sigma1**2 - 2 * rho * sigma1 * sigma2 + sigma2**2) * x**2 + 2 * sigma2 * (rho * sigma1 - sigma2) * x + sigma2**2

fig = plt.figure(figsize=(6, 12))
fig.patch.set_alpha(1)

plt.subplot(2, 1, 1)
plt.plot(x, E)
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("E")
plt.title("7.2 iii) E")

plt.subplot(2, 1, 2)
plt.plot(x, V)
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("V")
plt.title("7.2 iii) V")

プログラムを実行すると次のようなグラフが描画される。

f:id:nuka137:20200908085637p:plain

7.3

A, Bそれぞれのつぼにボールが入る確率を1/2とする。

$X$ の確率分布 $g(x)$ を示す。

$X$	確率
0	$\displaystyle {}_{3}C_{0} \left( \frac{1}{2} \right)^{3} = \frac{1}{8}$
1	$\displaystyle {}_{3}C_{1} \left( \frac{1}{2} \right)^{2} \cdot \left( \frac{1}{2} \right) = \frac{3}{8}$
2	$\displaystyle {}_{3}C_{2} \left( \frac{1}{2} \right) \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^{2} = \frac{3}{8}$
3	$\displaystyle {}_{3}C_{3} \left( \frac{1}{2} \right)^{3} = \frac{1}{8}$

3つのボールが1つのつぼに入るのは $X = 0, X = 3$ のとき、2つのつぼに入るのは $X = 1, X = 2$ のときである。このことから、 $Y$ の確率分布 $h(y)$ は次のように得られる。

$Y$	確率
1	$\displaystyle \frac{1}{8} + \frac{1}{8} = \frac{1}{4}$
2	$\displaystyle \frac{3}{8} + \frac{3}{8} = \frac{3}{4}$

これを同時確率分布表にすると、次のようになる。


		Y
X		1	2
	0	1/8	0
	1	0	3/8
	2	0	3/8
	3	1/8	0

独立の条件は、 $f(x, y) = g(x) \cdot h(x)$ が成り立つことが条件であるが、

$\begin{align} f(x = 0, y = 1) &= \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{32} \\ &\neq \frac{1}{8} \end{align}$

であるため、独立ではないと言える。

一方で無相関の条件は ${\rm Cov} (X, Y) = 0$ です。

$\begin{align} E(X) &= 0 \cdot \left( \frac{1}{8} \right) + 1 \cdot \left( \frac{3}{8} \right) + 2 \cdot \left( \frac{3}{8} \right) + 3 \cdot \left( \frac{1}{8} \right) \\ &= \frac{3}{2} \end{align}$

$\begin{align} E(Y) &= 1 \cdot \left( \frac{1}{4} \right) + 2 \cdot \left( \frac{3}{4} \right) \\ &= \frac{7}{4} \end{align}$

$\begin{align} E(XY) &= 0 \cdot 1 \cdot \left( \frac{1}{8} \right) + 1 \cdot 2 \cdot \left( \frac{3}{8} \right) + 2 \cdot 2 \cdot \left( \frac{3}{8} \right) + 3 \cdot 1 \cdot \left( \frac{1}{8} \right) \\ &= \frac{21}{8} \end{align}$

より、

$\begin{align} {\rm Cov} (X, Y) &= E(XY) - E(X) \cdot E(Y) \\ &= \frac{21}{8} - \frac{3}{2} \cdot \frac{7}{4} \\ &= 0 \end{align}$

となるため、無相関であると言える。

7.4

(Ⅰ)の方法で物体AとBを測定したときの分散は、それぞれ $V(m_{A}) = \sigma^{2}$ , $V(m_{B}) = \sigma^{2}$ となる。

一方で(Ⅱ)の方法で測定したときは、それぞれ $V(m_{X}) = \sigma^{2}$ , $V(m_{Y}) = \sigma^{2}$ となる。

$\displaystyle m_{X} = m_{A} + m_{B} \\ \displaystyle m_{Y} = m_{A} - m_{B}$

であるため、物体AとBがそれぞれ相関がないこと7.1 ii)の結果を利用して、

$\begin{align} V(m_{A}) &= V \left( \frac{m_{X} + m_{Y}}{2} \right) \\ &= \frac{1}{4} V(m_{X}) + \frac{1}{4} V(m_{Y}) \\ & = \frac{\sigma^{2}}{2} \end{align}$

同様にして、

$\begin{align} V(m_{B}) &= V \left( \frac{m_{X} - m_{Y}}{2} \right) \\ &= \frac{1}{4} V(m_{X}) + \frac{1}{4} V(m_{Y}) \\ & = \frac{\sigma^{2}}{2} \end{align}$

が得られる。

したがって、(Ⅰ)の方法で測定するよりも(Ⅱ)の方法で測定した方が分散が少なくなる（測定によるばらつきが小さい）ため、より優れた方法であると言える。

7.5

$\begin{align} \rho_{UV} &= \frac{{\rm Cov} (U, V)}{\sqrt{V(U)} \sqrt{V(V)}} \\ &= \frac{{\rm Cov} (aX+b, cY+d)}{\sqrt{V(aX+b)} \sqrt{V(cY+d)}} \end{align}$

ここで、

$\begin{align} {\rm Cov} (aX+b, cY+d) &= E( (aX + b) (cY + d) ) - E( aX + b ) E( cY + d ) \\ &= E( (aX + b) (cY + d) ) - (a E(X) + b) (c E(Y) + d) \\ &= E( acXY + adX + bcY + bd ) - (a E(X) + b) (c E(Y) + d) \\ &= ac( E(XY) - E(X) E(Y) ) \end{align}$

$V(aX+b) = a^{2} V(X) \\ V(cY+d) = c^{2} V(Y)$

より、

$\begin{align} \rho_{UV} &= \frac{{\rm Cov} (aX+b, cY+d)}{\sqrt{V(aX+b)} \sqrt{V(cY+d)}} \\ &= \frac{ac( E(XY) - E(X) E(Y) )}{a \sqrt{V(X)} \cdot c \sqrt{V(Y)}} \\ &= \frac{{\rm Cov} (X, Y)}{\sqrt{V(X)} \sqrt{V(Y)}} \\ &= \rho_{XY} \end{align}$

7.6

i)

$X, Y$ はともに標準正規分布に従い、かつ互いに独立であるから、

$E(X) = E(Y) = 0 \\ V(X) = V(Y) = 1 \\ E(X^{2}) = E(Y^{2}) = 1 \\ E(XY) = E(X)E(Y) = 0$

となる。

このため、

$\begin{equation} E(cX + Y) = cE(X) + E(Y) = 0 \\ V(cX + Y) = c^{2}V(X) + V(Y) = c^{2} + 1 \\ E(X(cX+Y)) = cE(X^{2}) + E(XY) = c \\ {\rm Cov} (X, cX+Y) = E(X(cX+Y)) - E(X)E(Y) = c \end{equation}$

が得られる。

これらを用いると、相関係数 $\rho$ は、

$\begin{align} \rho &= \frac{{\rm Cov} (X, cX+Y)}{\sqrt{V(X)} \sqrt{V(cX+Y)}} \\ &= \frac{c}{\sqrt{c^{2} + 1}} \\ &= 0.5 \end{align}$

の関係式が得られるため、 $c$ について解くと、

$\displaystyle c = \frac{1}{\sqrt{3}}$

が得られる。

ii)

i)より、

$\displaystyle \rho = \frac{c}{ \sqrt{ c^{2} + 1 } }$

であるから、 $c$ について解くと、

$\displaystyle c = \frac{\rho}{ \sqrt{ 1 - \rho^{2} } }$

が得られる。

iii)

$U = aX + bY \\ V = cX + dY$

とすると、本書の (7.30) より、

$\sigma_{1}^{2} = a^{2} + b^{2} \\ \sigma_{2}^{2} = c^{2} + d^{2} \\ \sigma_{12} = ac + bd \\ \displaystyle \rho = \frac{\sigma_{12}}{\sigma_{1} \sigma_{2}}$

となる。

$U, V$ は2次元正規分布 ${\rm N} ( (0, 0), (\sigma_{1}^{2}, \sigma_{2}^{2}, \rho ) )$ に従うから、

$\sigma_{12} = ac + bd = \rho \\ \sigma_{1} \sigma_{2} = 1$

が得られる。

ここで $b = 0$ とおくと、

$\sigma_{1}^{2} = a^{2} + b^{2}$

より、

$a = \sigma_{1}$

が得られる。

また、

$\sigma_{12} = ac + bd = \rho$

より、

$\displaystyle c = \frac{\rho}{a} = \frac{\rho}{\sigma_{1}} = \sigma_{2} \rho$

が得られる。

最後に、

$\sigma_{2}^{2} = c^{2} + d^{2}$

から、

$d = \sigma_{2} \sqrt{1 - \rho^{2}}$

が得られる。

したがって、

$U = \sigma_{1} X \\ V = \sigma_{2} \rho X + \sigma_{2} \sqrt{1 - \rho^{2}} Y$

と求まる。

7.7

i)

互いに独立なシステム $S_{1}, S_{2}$ が並列に結合されているとき、全体の寿命 $Y$ は2つのシステムが寿命を迎えたタイミングであるから、 $max( X_{1}, X_{2} )$ が全体の寿命となる。

システム $S_{1}, S_{2}$ の寿命は指数分布、

$\begin{equation} Ex(\lambda) = \begin{cases} \displaystyle \lambda e^{- \lambda x} & (x \ge 0) \\ 0 & (x \lt 0) \end{cases} \end{equation}$

で与えられ、累積分布関数 $F(x)$ は、

$\begin{align} F(x) &= \int_{-\infty}^{x} \\ &= \int_{0}^{x} \lambda e^{- \lambda x} dx \\ &= 1 - e^{- \lambda x} \end{align}$

である。

$Y$ の寿命を $y$ とすると、その累積分布関数は $S_{1}, S_{2}$ のどちらか一方が $y$ まで寿命を迎えていなければよいため、

$\begin{align} P(Y \le y) &= P(X_{1} \le y, X_{2} \le y) \\ &= P(X_{1} \le y) P(X_{2} \le y) \\ &= (1 - e^{- \lambda y} )^{2} \end{align}$

と求まる。

したがってその確率密度関数は、

$\begin{align} \frac{d}{dy} P(Y \le y) &= \frac{d}{dy} (1 - e^{- \lambda y} )^{2} \\ &= 2 \lambda e^{- \lambda y} (1 - e^{- \lambda y} ) \end{align}$

ii)

互いに独立なシステム $S_{1}, S_{2}$ が直列に結合されているとき、全体の寿命 $Y$ はどちらか一方のシステムが寿命を迎えたタイミングであるから、 $min( X_{1}, X_{2} )$ が全体の寿命となる。

したがって、全確率から $S_{1}, S_{2}$ 両方のシステムが寿命を迎えていない確率を引けばよいため、

$\begin{align} P(Y \le y) &= 1 - P(X_{1} \gt y, X_{2} \gt y) \\ &= 1 - P(X_{1} \gt y) P(X_{2} \gt y) \\ &= 1 - (1 - (1 - e^{- \lambda y} ) )^{2} \\ &= 1 - e^{- 2 \lambda y} \end{align}$

と求まる。

確率密度関数は、

$\begin{align} \frac{d}{dy} P(Y \le y) &= \frac{d}{dy} (1 - e^{- 2 \lambda y}) \\ &= 2 \lambda e^{-2 \lambda y} \end{align}$

7.8

i)

確率密度関数が、

$\begin{equation} f(x) = \begin{cases} \displaystyle 1 & ( 0 \le x \le 1) \\ 0 & (x \lt 0, 1 \lt x) \end{cases} \end{equation}$

で与えられるから、累積分布関数 $F(x)$ は、

$\begin{equation} F(x) = \begin{cases} \displaystyle x & ( 0 \le x \le 1 ) \\ 0 & (x \lt 0, 1 \lt x) \end{cases} \end{equation}$

となる。

したがって、UとVの累積分布関数 $U(u), V(v)$ はそれぞれ、

$\begin{align} U(u) &= P(max (X_{1}, X_{2}, ..., X_{n}) \le u) \\ &= P(X_{1} \le u) P(X_{2} \le u) ... P(X_{n} \le u) \\ &= (F(u))^{n} \\ &= u^{n} \quad ( 0 \le u \le 1 ) \end{align}$

$\begin{align} V(v) &= P(min (X_{1}, X_{2}, ..., X_{n}) \le v) \\ &= 1 - P(X_{1} \gt v) P(X_{2} \gt v) ... P(X_{n} \gt v) \\ &= 1 - ( 1 - v )^{n} \quad ( 0 \le v \le 1 ) \end{align}$

となる。このため、UとVの確率密度関数 $g(u), h(v)$ はそれぞれ、

$\begin{align} g(u) &= \frac{dU}{du} \\ &= nu^{n-1} \quad ( 0 \le u \le 1 ) \end{align}$

$\begin{align} h(v) &= \frac{dV}{dv} \\ &= n(1-v)^{n-1} \quad ( 0 \le v \le 1 ) \end{align}$

となる。

ii)

確率密度関数が、

$\begin{equation} f(x) = \begin{cases} \displaystyle \lambda e^{- \lambda x} & ( x \ge 0) \\ 0 & (x \lt 0) \end{cases} \end{equation}$

で与えられるから、累積分布関数 $F(x)$ は、

$\begin{equation} F(x) = \begin{cases} \displaystyle 1 - e^{- \lambda x} & ( x \ge 0 ) \\ 0 & (x \lt 0) \end{cases} \end{equation}$

となる。

したがって、UとVの累積分布関数 $U(u), V(v)$ はそれぞれ、

$\begin{align} U(u) &= P(max (X_{1}, X_{2}, ..., X_{n}) \le u) \\ &= P(X_{1} \le u) P(X_{2} \le u) ... P(X_{n} \le u) \\ &= (1 - e^{- \lambda u})^{n} \quad ( u \ge 0 ) \end{align}$

$\begin{align} V(v) &= P(min (X_{1}, X_{2}, ..., X_{n}) \le v) \\ &= 1 - P(X_{1} \gt v) P(X_{2} \gt v) ... P(X_{n} \gt v) \\ &= 1 - e^{- \lambda nv} \quad ( v \ge 0 ) \end{align}$

となる。このため、UとVの確率密度関数 $g(u), h(v)$ はそれぞれ、

$\begin{align} g(u) &= \frac{dU}{du} \\ &= n \lambda e^{- \lambda u} ( 1 - e^{- \lambda u } )^{n-1} \quad ( u \ge 0 ) \end{align}$

$\begin{align} h(v) &= \frac{dV}{dv} \\ &= \lambda n e^{- \lambda n v} \quad ( v \ge 0 ) \end{align}$

となる。

iii)

各 $X_{i}$ の確率密度関数が $f(x)$ 、累積分布関数が $F(x)$ で与えられるから、UとVの累積分布関数 $U(u), V(v)$ はそれぞれ、

$\begin{align} U(u) &= P(max (X_{1}, X_{2}, ..., X_{n}) \le u) \\ &= P(X_{1} \le u) P(X_{2} \le u) ... P(X_{n} \le u) \\ &= F(u)^{n} \end{align}$

$\begin{align} V(v) &= P(min (X_{1}, X_{2}, ..., X_{n}) \le v) \\ &= 1 - P(X_{1} \gt v) P(X_{2} \gt v) ... P(X_{n} \gt v) \\ &= 1 - (1 - F(v))^{n} \end{align}$

で与えられる。

このため、UとVの確率密度関数 $g(u), h(v)$ はそれぞれ、

$\begin{align} g(u) &= \frac{dU}{du} \\ &= n \cdot \frac{dF}{du} \cdot F(u)^{n-1} \\ &= n \cdot f(u) \cdot F(u)^{n-1} \end{align}$

$\begin{align} h(v) &= \frac{dV}{dv} \\ &= n \cdot \frac{dF}{dv} \cdot (1 - F(v))^{n-1} \\ &= n \cdot f(v) \cdot (1 - F(v))^{n-1} \end{align}$

となる。

7.9

たたみこみの結果元と同じ確率分布となる場合、その確率分布は再生性も持つと言える。

i)

二項分布の確率分布は、

$f(x) = Bi(n, p) = {}_{n} C_{x} p^{x} (1 - p)^{n-x}$

であるから、再生性が持つことを証明するためには、

$Bi(n, p) * Bi(m, p) = Bi(n + m, p)$

が成り立つことを確認すればよい。

$\sum_{x=0}^{z} {}_{n} C_{x} \cdot {}_{m} C_{z-x} = {}_{n+m} C_{z}$

に注意すると、

$\begin{align} Bi(n, p) * Bi(m, p) &= \sum_{x=0}^{z} {}_{n} C_{x} p^{x} (1 - p)^{n -x} \dot {}_{m} C_{z-x} p^{z - x} (1 - p)^{m - (z - x)} \\ &= p^{z} (1-p)^{n+m-z} \cdot \sum_{x=0}^{z} {}_{n} C_{x} \cdot {}_{m} C_{z-x} \\ &= {}_{n+m} C_{z} \cdot p^{z} (1-p)^{n+m-z} \\ &= Bi(n+m, p) \end{align}$

となり、再生性を持つことが証明された。

ii)

二項分布の確率分布は、

$\begin{align} f(x) = P_{o}(\lambda) = \sum_{x} e^{-\lambda} \frac{\lambda^{x}}{x!} \end{align}$

であるから、再生性が持つことを証明するためには、

$\begin{align} P_{o}(\lambda) * P_{o}(\mu) = P_{o}(\lambda + \mu) \end{align}$

が成り立つことを確認すればよい。

二項定理

$\begin{align} (a + b)^{n} &= \sum_{x=0}^{n} {}_{n} C_{x} a^{x} b^{n-x} \\ &= \sum_{x=0}^{n} \frac{n!}{x! (n-x)!} a^{x} b^{n-x} \end{align}$

を利用すると、

$\begin{align} P_{o}(\lambda) * P_{o}(\mu) &= \sum_{x} e^{-\lambda} \frac{\lambda^{x}}{x!} \cdot e^{-\mu} \frac{\mu^{z-x}}{(z-x)!} \\ &= \frac{e^{-(\lambda + \mu)}}{z!} \sum_{x=0}^{z} \frac{z!}{x! (z-x)!} \lambda^{x} \mu^{z-x} \\ &= \frac{e^{-(\lambda + \mu)}}{z!} (\lambda + \mu)^{z} \\ &= P_{o}(\lambda + \mu) \end{align}$

となり、再生性を持つことが証明された。

iii)

二項分布の確率分布は、

$\begin{align} f(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} \exp \left( - \frac{(x-\mu)^{2}}{2 \sigma^{2}} \right) \end{align}$

であるから、再生性が持つことを証明するためには、

$\begin{align} f_{\mu_{1}, \sigma_{1}^{2}}(x) * f_{\mu_{2}, \sigma_{2}^{2}}(x) = f_{\mu_{1} + \mu_{2}, \sigma_{1}^{2} + \sigma_{2}^{2}} (x) \end{align}$

が成り立つことを確認すればよい。

ガウス積分の公式を利用すると、

$\begin{align} f_{\mu_{1}, \sigma_{1}^{2}}(x) * f_{\mu_{2}, \sigma_{2}^{2}}(x) &= \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma_{1}} \exp \left( - \frac{(x - \mu_{1})^{2}}{2 \sigma_{1}^{2}} \right) \cdot \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma_{2}} \exp \left( - \frac{( (z - x) - \mu_{2})^{2}}{2 \sigma_{2}^{2}} \right) dx \\ &= \frac{1}{2 \pi \sigma_{1} \sigma_{2}} \int_{-\infty}^{\infty} \exp \left( - \frac{(x - \mu_{1})^{2}}{2 \sigma_{1}^{2}} - \frac{( (z - x) - \mu_{2})^{2}}{2 \sigma_{2}^{2}} \right) dx \\ &= \frac{1}{2 \pi \sigma_{1} \sigma_{2}} \int_{-\infty}^{\infty} \exp \left( - \frac{1}{2} \cdot \frac{ \sigma_{1}^{2} + \sigma_{2}^{2} }{ \sigma_{1}^{2} \sigma_{2}^{2} } \left( x - \frac{1}{\sigma_{1}^{2} + \sigma_{2}^{2}} (\mu_{1} \sigma_{2}^{2} + (z - \mu_{2}) \sigma_{1}^{2} ) \right)^{2} \right) dx - \frac{1}{2 (\sigma_{1}^{2} + \sigma_{2}^{2})} (z - \mu_{1} - \mu_{2})^{2} \\ &\equiv \frac{1}{2 \pi \sigma_{1} \sigma_{2}} \int_{-\infty}^{\infty} \exp \left( - \frac{1}{2} B ( x - A )^{2} + C \right) dx \\ &= \frac{e^{C}}{2 \pi \sigma_{1} \sigma_{2}} \int_{-\infty}^{\infty} \exp \left( - \frac{1}{2} B X^{2} \right) dX \\ &= \frac{e^{C}}{2 \pi \sigma_{1} \sigma_{2}} \sqrt{\frac{2 \pi}{B}} \\ &= \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \frac{1}{ \sqrt{ \sigma_{1}^{2} + \sigma_{2}^{2} } } \exp \left( - \frac{(z - \mu_{1} - \mu_{2})^{2}}{2 (\sigma_{1}^{2} + \sigma_{2}^{2})} \right) \\ &= f_{\mu_{1} + \mu_{2}, \sigma_{1}^{2} + \sigma_{2}^{2}} (x) \end{align}$