【統計学入門（東京大学出版会）】第6章練習問題解答

東京大学出版会から出版されている統計学入門（基礎統計学Ⅰ）について第6章の練習問題の解答を書いていきます。

本章以外の解答
6.1
6.2
6.3
6.4
- i)
- ii)
6.5
6.6
- i)
- ii)
6.7
6.8
6.9
6.10

本章以外の解答

本章以外の練習問題の解答は別の記事で公開しています。
必要に応じて参照してください。

6.1

二項分布

二項分布の期待値 $E(X)$ は、

$E(X) = np$

で与えられます。

一方 $E(X^{2})$ は、

$\begin{align} E(X^{2}) &= \sum_{x} x^{2} \cdot {}_{n}C_{x} p^{x} (1-p)^{n-x} \\ &= \sum_{x} ( x ( x - 1 ) + x ) \cdot {}_{n}C_{x} p^{x} (1-p)^{n-x} \\ &= \sum_{x} x ( x - 1 ) \cdot {}_{n}C_{x} p^{x} (1-p)^{n-x} + \sum_{x} x \cdot {}_{n}C_{x} p^{x} (1-p)^{n-x} \\ &= \sum_{x} x ( x - 1 ) \cdot \frac{n(n-1)}{x(x-1)} \cdot p^{2} \cdot {}_{n-2}C_{x-2} p^{x-2} (1-p)^{n-x} + \sum_{x} x \cdot \frac{n}{x} \cdot p \cdot {}_{n-1}C_{x-1} p^{x-1} (1-p)^{n-x} \\ &= np^{2}(n-1) \cdot \sum_{x} \cdot {}_{n-2}C_{x-2} p^{x-2} (1-p)^{n-x} + np \cdot \sum_{x} {}_{n-1}C_{x-1} p^{x-1} (1-p)^{n-x} \\ &= np^{2}(n-1) \cdot 1 + np \cdot 1 \\ &= n^{2}p^{2} + np (1-p) \end{align}$

となるため、分散 $V(X)$ は、

$\begin{align} V(X) &= E(X^{2}) - E(X)^{2} \\ &= n^{2}p^{2} + np (1-p) - (np)^{2} \\ &= np(1-p) \end{align}$

となります。

ポアソン分布

ポアソン分布の期待値 $E(X)$ は、

$E(X) = \lambda$

で与えられます。

一方 $E(X^{2})$ は、

$\begin{align} E(X^{2}) &= \sum_{x} x^{2} \cdot e^{- \lambda} \cdot \frac{\lambda^{x}}{x!} \\ &= \sum_{x} ( x ( x - 1 ) + x) \cdot e^{- \lambda} \cdot\frac{\lambda^{x}}{x!} \\ &= \sum_{x} x ( x - 1 ) \cdot e^{- \lambda} \cdot \frac{\lambda^{x}}{x!} + \sum_{x} x \cdot e^{- \lambda} \cdot \frac{\lambda^{x}}{x!} \\ &= \lambda^{2} e^{- \lambda} \cdot \sum_{x} \frac{\lambda^{x 2}}{(x-2)!} + \lambda e^{- \lambda} \cdot \sum_{x} \frac{\lambda^{x-1}}{(x-1)!} \\ &= \lambda^{2} e^{- \lambda} e^{\lambda} + \lambda e^{- \lambda} e^{\lambda} = \lambda^{2} + \lambda \end{align}$

となるため、分散 $V(X)$ は、

$\begin{align} V(X) &= E(X^{2}) - E(X)^{2} \\ &= \lambda^{2} + \lambda - \lambda^{2} \\ &= \lambda \end{align}$

となります。

6.2

ポアソン分布 $P_{o}(\lambda)$ は、次の式で与えられます。

$\displaystyle P\_{o}(\lambda) = e^{- \lambda} \cdot \frac{\lambda^{x}}{x!}$

4床の空きベッドが確保されているため、ベッドが不足する確率は救急患者数が5人以上である確率を求めればよいことになります。
したがって、

$\displaystyle 1- \sum_{x=0}^{4} P\_{o}(2.5) = 1 - \sum_{x=0}^{4} e^{- 2.5} \cdot \frac{2.5^{x}}{x!}$

を求めることで答えが得られます。

上記の計算を行うPythonプログラムを次に示します。

from math import exp, pow, factorial

ans = 1.0
for x in range(5):
    ans -= exp(-2.5) * pow(2.5, x) / factorial(x)
print(ans)

上記のプログラムを実行すると、次の結果が得られます。

0.10882198108584873

6.3

負の二項分布とは、 $k$ 回目の成功を得るまでの試行回数 $N$ に関する確率分布 です。したがって最後の試行が成功となり、それ以外の $N - 1$ 回の試行では、 $k-1$ 回の成功と $x = N - k$ 回の失敗となる確率を求めればよいことになります。

成功の確率を $p$ 失敗の確率を $q$ とすると、確率分布 $f(x)$ は、

$\begin{align} f(x) &= p \cdot {}_{N-1}C_{x} p^{k-1} q^{x} \\ &= {}_{x+k-1}C_{x}p^{k} q^{x} \end{align}$

以上により、負の二項分布を導出できました。

6.4

i)

$n$ 個のコインのうち、1個のコインが表になり $n-1$ 個のコインが裏になる確率と、 $n-1$ 個のコインが表になり1個のコインが裏になる確率の和が $P$ になります。

したがって、

$\begin{align} P &= {}_{n}C_{1} p q^{n-1} + {}_{n}C_{1} p^{n-1} q \\ & = n(pq^{n-1} + p^{n-1}q) \end{align}$

ii)

繰り返し数を $x$ とすると、 $x$ 回目でi)を満たす確率 $Q$ は、

$Q = P(1-P)^{x-1}$

となるため、 $x$ の期待値 $E(X)$ は、

$\begin{align} E(X) &= \sum_{x} x \cdot Q \\ &= \sum_{x} x \cdot P(1-P)^{x-1} \end{align}$

から求めることができます。

ここで $x$ が非常に大きい（＝無限大）のときは、

$\begin{align} \sum_{x} x p q^{x-1} &= \sum_{x} ( x + 1 ) p q^{x} \\ &= \sum_{x} x p q^{x} + \sum_{x} p q^{x} \\ &= q \cdot \sum_{x} x p q^{x-1} + 1 \end{align}$

が成り立つため、

$(1-q) \cdot \sum_{x} x p q^{x-1} = 1$

の関係式が得られます。

この関係式を利用すると、

$\begin{align} E(X) &= \sum_{x} x \cdot P(1-P)^{x-1} \\ &= \frac{1}{1-(1-P)} \\ &= \frac{1}{P} \\ &= \frac{1}{n(pq^{n-1} + p^{n-1}q)} \end{align}$

が得られます。

6.5

定数 $c$

$\begin{equation} f(x) \begin{cases} \displaystyle c(1-x^{2}) & (-1 \le x \le 1) \\ 0 & (x \lt -1, 1 \lt x) \end{cases} \end{equation}$

が確率密度関数となるためには、

$\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = 1$

を満たせばよいことになります。したがって、

$\begin{align} \int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx &= \int_{-1}^{1} c (1 - x^{2}) dx \\ &= \frac{4}{3} c \\ &= 1 \end{align}$

より（偶関数の性質を利用）、 $c = \frac{3}{4}$ が求まります。

以降の計算では、この $c$ の値を利用して期待値などの値を求めます。すなわち、

$\begin{equation} f(x) \begin{cases} \displaystyle \frac{3}{4}(1-x^{2}) & (-1 \le x \le 1) \\ 0 & (x \lt -1, 1 \lt x) \end{cases} \end{equation}$

です。

期待値

$f(x)$ の期待値 $E(X)$ は、

$\begin{align} E(X) &= \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x) dx \\ &= \int_{-1}^{1} \frac{3}{4} x (1 - x^{2}) dx \\ & = 0 \end{align}$

となります（奇関数の性質を利用）。

分散

$\begin{align} E(X^{2}) &= \int_{-\infty}^{\infty} x^{2} \cdot f(x) dx \\ &= \int_{-1}^{1} \frac{3}{4} x^{2} (1 - x^{2}) dx \\ &= 2 \cdot \int_{0}^{1} \frac{3}{4} x^{2} (1 - x^{2}) dx \\ & = \frac{1}{5} \end{align}$

となるため、分散 $V(X)$

$\begin{align} V(X) &= E(X^{2}) - E(X)^{2} \\ &= \frac{1}{5} \end{align}$

が得られます。

歪度

$\mu = E(X) = 0$ 、 $\sigma = \sqrt{V(X)} = \frac{1}{\sqrt{5}}$ と、

$\begin{align} E(X^{3}) &= \int_{-\infty}^{\infty} x^{3} \cdot f(x) dx \\ &= \int_{-1}^{1} \frac{3}{4} x^{3} (1 - x^{2}) dx \\ & = 0 \end{align}$

より、歪度 $\alpha_{3}$ は、

$\begin{align} \alpha_{3} &= \frac{E(X^{3}) - 3 \mu E(X^{2}) + 2 \mu^{3}}{\sigma^{3}} \\ &= 0 \end{align}$

となります。

尖度

$\begin{align} E(X^{4}) &= \int_{-\infty}^{\infty} x^{4} \cdot f(x) dx \\ &= \int_{-1}^{1} \frac{3}{4} x^{4} (1 - x^{2}) dx \\ &= 2 \cdot \int_{0}^{1} \frac{3}{4} x^{4} (1 - x^{2}) dx \\ & = \frac{3}{35} \end{align}$

より、尖度 $\alpha_{4} - 3$ は、

$\begin{align} \alpha_{4} - 3 &= \frac{E(X^{4}) - 4 \mu E(X^{2}) + 6 \mu^{2} E(X^{2}) - 3 \mu^{4}}{\sigma^{4}} \\ &= \frac{\frac{3}{35}}{\frac{1}{\sqrt{5}^{4}}} -3 \\ &= \frac{6}{7} \end{align}$

となります。

6.6

i)

指数分布の確率密度関数 $f(x)$ は、次の式で与えられます（ $\lambda$ は正の値）。

$\begin{equation} f(x) \begin{cases} \lambda e^{- \lambda x} & (x \ge 0) \\ 0 & (x \lt 0) \end{cases} \end{equation}$

これを用いて、

$\begin{align} P(X \gt a + b | X \gt a) &= \frac{P(X \gt a + b \land X > a)}{P(X \gt a)} \\ &= \frac{P(X \gt a + b)}{P(X \gt a)} \\ &= \frac{\int_{a+b}^{\infty} f(x) dx}{\int_{a}^{\infty} f(x) dx} \\ &= \frac{\int_{a+b}^{\infty} \lambda e^{- \lambda x} dx}{\int_{a}^{\infty} \lambda e^{- \lambda x} dx} \\ &= \frac{e^{- \lambda (a+b)}}{e^{-\lambda a}} \\ &= e^{-\lambda b} \\ &= P(X \gt b) \end{align}$

となります。

$P(X \gt a + b | X \gt a)$ は、過去に $a$ だけの時間が過ぎた状態という前提条件をもとにして、 $b$ だけ時間を進めたときの確率を示しています。一方で $P(X \gt b)$ は、いかなる前提条件をもとにせず、 $b$ だけ時間を進めたときの確率を示しています。これらが同じ確率になっているということは、過去の時間経過がその後の確率に影響を与えていない、ということを示していると言えます。

ii)

累積分布関数 $F(x)$ は、

$\begin{align} F(x) &= \int_{-\infty}^{x} f(x) dx \\ &= \int_{0}^{x} \lambda e^{-\lambda x} dx \\ &= 1 - e^{- \lambda x} \end{align}$

となるため、

$\begin{align} \lambda (x) &= \frac{f(x)}{1-F(x)} \\ &= \frac{\lambda e^{- \lambda x}}{1 - (1 - e^{- \lambda x})} \\ &= \lambda \end{align}$

が得られます。

6.7

付表の正規分布表を利用します。

付表は上側の確率の値を示しているため、 $P(|Z| \gt c)$ の場合は、表の値の1/2となる値を見る必要があることに注意が必要です。例えば、 $P(|Z| \gt c) = 0.01$ の場合は、0.005に対応する $c$ の値を参照するといった具合です。

また本来は、内挿を考慮して値を求める必要がありますが、簡単のため2点間で近い方の値を $c$ の値として採用しています。

$P(\|Z\| \gt c)$	$c$
0.01	2.58
0.02	2.32
0.05	1.96
0.10	1.65

および

$P(Z \gt c)$	$c$
0.01	2.32
0.02	2.05
0.05	1.65
0.10	1.28

が得られます。

6.8

ベータ分布の確率密度関数 $f(x)$ は、

$\begin{equation} f(x) \begin{cases} \frac{x^{\alpha -1} (1 - x)^{\beta -1}}{B(\alpha, \beta)} & (0 \ge x \ge 1) \\ 0 & (x \lt 0, 1 \lt x) \end{cases} \end{equation}$

かつ凹関数であることから、 $f(x)$ を微分して0となる $x$ の値がモード（最頻）となります。

したがって、

$\begin{align} \frac{df(x)}{dx} &= \frac{1}{B(\alpha, \beta)} \left( (\alpha - 1) x^{\alpha - 2} (1 - x)^{\beta - 1} - (\beta - 1) x^{\alpha - 1} (1 - x)^{\beta - 2} \right) \\ &= 0 \end{align}$

を満たす $x$ を求めればよいことになります。 $B(\alpha, \beta)$ は $x$ に依存しないことに注意して計算すると、

$\displaystyle x = \frac{\alpha - 1}{\alpha + \beta - 2}$

が得られます。

なお、 $\alpha = \beta = 1$ のときはベータ分布が一様分布になることから、モードは $0 \lt x \lt 1$ の範囲で任意の値を取れる点に注意してください。

6.9

ワイブル分布の密度関数 $f(x)$ を次に示します。

$\begin{equation} f(x) \begin{cases} \displaystyle \frac{bx^{b-1}}{a^{b}} \exp \left( - \left( \frac{x}{a} \right)^{b} \right) & (x \gt 0) \\ 0 & (x \lt 0) \end{cases} \end{equation}$

累積分布関数 $P(X \le x)$ は、

$\begin{align} P(X \le x) &= \int_{-\infty}^{x} f(y) dy \\ &= \int_{0}^{x} \frac{by^{b-1}}{a^{b}} \exp \left( - \left( \frac{y}{a} \right)^{b} \right) dy \\ &= \frac{b}{a^{b}} \left[ - \frac{a^{b}}{b} \exp \left( - \frac{y^{b}}{a^{b}} \right) \right]_{y=0}^{y=x} \\ &= 1 - \exp \left( - \left( \frac{x}{a} \right)^{b} \right) \end{align}$

と求まります。ここで求めた累積分布関数は、 $x \ge 0$ を満たす場合に限定しています。 $x \lt 0$ の場合は $f(x) = 0$ となるので、累積分布関数も0になります。

6.10

標準正規分布

標準正規分布の確率密度関数 $f(x)$ は、次の式で与えられます。

$\displaystyle f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp \left( - \frac{x^{2}}{2} \right)$

したがってモーメント母関数 $M_{x}(t)$ は、変数変換 $x - t \equiv y$ とガウス積分の公式を使って求めることができます。

$\begin{align} M_{x}(t) &= \int_{-\infty}^{\infty} e^{tx} f(x) dx \\ &= \int_{-\infty}^{\infty} e^{tx} \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp \left( - \frac{x^{2}}{2} \right) dx \\ &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp \left( \frac{t^{2}}{2} \right) \int_{- \infty}^{\infty} \exp \left( - \frac{1}{2} (x - t)^{2} \right) dx \\ &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp \left( \frac{t^{2}}{2} \right) \int_{- \infty}^{\infty} \exp \left( - \frac{y^{2}}{2} \right) dy \\ &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp \left( \frac{t^{2}}{2} \right) \sqrt{\frac{\pi}{\frac{1}{2}}} \\ &= \exp \left( \frac{t^{2}}{2} \right) \end{align}$

ここでマクローリン展開すると、

$\begin{align} M_{x}(t) &= \exp \left( \frac{t^{2}}{2} \right) \\ &\equiv e^{y} \\ &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(y - 0)^{n}}{n!} \frac{d^{n}}{dy^{n}} e^{y} |_{y=0} \\ &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{y^{n}}{n!} \\ &= 1 + y + \frac{y^{2}}{2!} + \frac{y^{3}}{3!} + ... \\ &= 1 + \frac{1}{2}t^{2} + \frac{1}{8}t^{4} + ... \end{align}$

となります。

一方、モーメント母関数 $M_{x}(t)$ は、

$\displaystyle M_{x}(t) = 1 + t \cdot E(X) + \frac{t^{2}}{2!} \cdot E(X^{2}) + \frac{t^{3}}{3!} \cdot E(X^{3}) + \frac{t^{4}}{4!} \cdot E(X^{4}) + ...$

という性質があるため、

$E(X) = \mu = 0$

$E(X^{2}) = 1$

$E(X^{3}) = 0$

$E(X^{4}) = 3$

$V(X) = \sigma^{2} = E(X^{2}) - E(X)^{2} = 1$

が得られます。

よって尖度 $\alpha_{4} - 3$ は、

$\begin{align} \alpha_{4} - 3 &= \frac{E(X^{4}) - 4 \mu E(X^{3}) + 6 \mu^{2} E(X^{2}) - 3 \mu^{4}}{\sigma^{4}} - 3 \\ &= \frac{3}{1} - 3 \\ &= 0 \end{align}$

となります。

指数分布

指数分布の確率密度関数 $f(x)$ は、次の式で与えられます。

$\begin{equation} f(x) \begin{cases} \displaystyle \lambda e^{- \lambda x} & (x \ge 0) \\ 0 & (x \lt 0) \end{cases} \end{equation}$

したがってモーメント母関数 $M_{x}(t)$ は、次のようになります。なお、 $\lambda > t$ とします。

$\begin{align} M_{x}(t) &= \int_{-\infty}^{\infty} e^{tx} f(x) dx \\ &= \int_{0}^{\infty} e^{tx} \cdot \lambda e^{- \lambda x} dx \\ &= \frac{\lambda}{\lambda -t} \end{align}$

ここでマクローリン展開すると、

$\begin{align} M_{x}(t) &= \frac{\lambda}{\lambda -t} \\ &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(t - 0)^{n}}{n!} \frac{d^{n}}{dt^{n}} \frac{\lambda}{\lambda -t} |_{t=0} \\ &= 1 + \frac{1}{\lambda}t + \frac{1}{\lambda^{2}}t^{2} + \frac{1}{\lambda^{3}}t^{3} + \frac{1}{\lambda^{4}}t^{4} + ... \end{align}$