【統計学入門（東京大学出版会）】第5章練習問題解答

東京大学出版会から出版されている統計学入門（基礎統計学Ⅰ）について第5章の練習問題の解答を書いていきます。

本章以外の解答
5.1
- i)
- ii)
- iii)
5.2
5.3
- i)
- ii)
5.4
5.5
5.6
5.7
5.8

本章以外の解答

本章以外の練習問題の解答は別の記事で公開しています。
必要に応じて参照してください。

5.1

i)

密度関数

一様分布の密度関数 $f(x)$ を次に示します。

$\begin{equation} f(x) \begin{cases} \displaystyle \frac{1}{6} & (0 \le x \le 6) \\ 0 & (x \lt 0, 6 \lt x) \end{cases} \end{equation}$

期待値

期待値 $E(X)$ は、

$\begin{align} \displaystyle E(X) &= \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x) dx \\ &= \int_{0}^{6} \frac{x}{6} dx \\ &= 3 \end{align}$

となります。

分散

$\begin{align} \displaystyle E(X^{2}) &= \int_{-\infty}^{\infty} x^{2} \cdot f(x) dx \\ &= \int_{0}^{6} \frac{x^{2}}{6} dx \\ &= 12 \end{align}$

と求まるので、

分散は $V(X)$ は、

$\begin{align} \displaystyle V(X) &= E(X^{2}) - E(X)^{2} \\ &= 12 - 3^{2} \\ &= 3 \end{align}$

となります。

ii)

チェビシェフの不等式は、次の式で与えられます。

$\displaystyle P(|X - \mu| \ge k \sigma) \le \frac{1}{k^{2}}$

したがって、i)の結果を利用して、

$\displaystyle P(|X - 3| \ge \sqrt{3} k) = P(3 - \sqrt{3} k \ge X \ge 3 + \sqrt{3} k) \le \frac{1}{k^{2}}$

が成り立つことを適当なk（ここでは $k = 1$ とします）について確認すればよいことになります。

$\begin{align} \displaystyle P(3 - \sqrt{3} k \ge X \ge 3 + \sqrt{3} k) &= P(3 - \sqrt{3} \ge X \ge 3 + \sqrt{3}) \\ &= \int_{3 - \sqrt{3}}^{3 + \sqrt{3}} f(x) dx \\ &= \int_{3 - \sqrt{3}}^{3 + \sqrt{3}} \frac{1}{6} dx \\ &= 0.57735 \quad (\le 1) \end{align}$

となり、不等式が成り立つことが確認できました。

iii)

密度関数 $f(x)$ を次に示します。

$\begin{equation} f(x) \begin{cases} \displaystyle 1 & (0 \le x \le 1) \\ 0 & (x \lt 0, 1 \lt x) \end{cases} \end{equation}$

これから、

$\begin{align} \displaystyle E(X) &= \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x) dx \\ &= \int_{0}^{1} x dx \\ &= \frac{1}{2} \end{align}$

$\begin{align} \displaystyle E(X^{2}) &= \int_{-\infty}^{\infty} x^{2} \cdot f(x) dx \\ &= \int_{0}^{1} x^{2} dx \\ &= \frac{1}{3} \end{align}$

$\begin{align} \displaystyle E(X^{3}) &= \int_{-\infty}^{\infty} x^{3} \cdot f(x) dx \\ &= \int_{0}^{1} x^{3} dx \\ &= \frac{1}{4} \end{align}$

$\begin{align} \displaystyle E(X^{4}) &= \int_{-\infty}^{\infty} x^{4} \cdot f(x) dx \\ &= \int_{0}^{1} x^{4} dx \\ &= \frac{1}{5} \end{align}$

と求まります。

歪度

歪度 $\alpha_{3}$ は、

$\displaystyle \alpha_{3} = \frac{E((X - \mu)^{3})}{\sigma^{3}}$

で求めますが、

$\begin{align} \displaystyle E((X - \mu)^{3}) &= E(X^{3}) - 3 \mu E(X^{2}) + 2 \mu^{2} \\ &= \frac{1}{4} - 3 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} + 2 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^{3} \\ &= 0 \end{align}$

であるため、 $\alpha_{3} = 0$ となります。

尖度

尖度 $\alpha_{4} -3$ は、

$\displaystyle \alpha_{4} - 3 = \frac{E((X - \mu)^{4})}{\sigma^{4}} - 3$

で求めますが、

$\begin{align} \displaystyle \sigma^{2} &= V(X) \\ &= E(X^{2}) - E(X)^{2} \\ &= \frac{1}{3} - \left( \frac{1}{2} \right)^{2} \\ &= \frac{1}{12} \end{align}$

$\begin{align} \displaystyle E((X - \mu)^{4}) &= E(X^{4}) - 4 \mu E(X^{3}) + 6 \mu^{2} E(X^{2}) - 3 \mu^{4} \\ &= \frac{1}{5} - 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} +6 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^{2} \cdot \frac{1}{3} - 3 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^{4} \\ &= \frac{1}{80} \end{align}$

から、

$\begin{align} \displaystyle \alpha_{4} - 3 &= \frac{E((X - \mu)^{4})}{\sigma^{4}} - 3 \\ &= \frac{\frac{1}{80}}{\left( \frac{1}{12} \right)^{2}} - 3 \\ &= - \frac{6}{5} \end{align}$

となります。

5.2

各等級の当選金を $x_{i}$ 、本数を $n_{i}$ とすると、宝くじの期待値 $E(X)$ は、次の式で表されます。
なお、全本数を $N$ としました。

$\displaystyle E(X) = \sum_{i} x_{i} \cdot \frac{n_{i}}{N}$

上記の式を用いて期待値を求めるPythonプログラムを次に示します。

import numpy as np

money = np.array([
    40000000,
    10000000,
    200000,
    10000000,
    100000,
    1000000,
    140000,
    10000,
    1000,
    200
])
num = np.array([
    7,
    14,
    903,
    5,
    645,
    130,
    130,
    1300,
    26000,
    1300000
])

total = np.sum(money * num) / 13000000
print(total)

上記のプログラムを実行した結果を次に示します。

89.4076923076923

5.3

i)

n回目に初めてコインが表になる確率 $P(X)$ は、n-1回目まで裏が出ることと同じであるため、次の式で表されます。

$\begin{align} \displaystyle P(X) &= \left( \frac{1}{2} \right)^{n-1} \cdot \frac{1}{2} \\ &= \frac{1}{2^{n}} \quad (n = 1, 2, 3, ...) \end{align}$

ii)

i)の結果を用いて期待値 $E(X)$ を求めると、

$\begin{align} \displaystyle E(X) &= \sum_{n=1}^{\infty} x_{n} P(X=x_{n}) \\ &= \sum_{n=1}^{\infty} 2^{n} \cdot \frac{1}{2^{n}} \\ &= \sum_{n=1}^{\infty} 1 \\ &= \infty \end{align}$

となり題意は示されました。

5.4

$E(X-a)^{2}$ を式変形すると、

$E(X-a)^{2} = E(X^{2}) - 2aE(X) + a^{2}$

となります。上記の式を最小にするためには、 $E(X-a)^{2}$ を $a$ について微分した値が0になればよいので、

$\begin{align} \displaystyle \frac{dE}{da} &= -2E(X) + 2a \\ &= 0 \end{align}$

したがって、 $a = E(X)$ のとき $E(X-a)^{2}$ が最小値 $E(X^{2}) - E(X)^{2}$ をとります。

5.5

正n面体で各面が出る確率は、 $\frac{1}{n}$ です。ここから、各期待値と分散が求まります。

期待値

期待値 $E(X)$ は、1次式の和の公式 $\sum_{i=1}^{n} = \frac{1}{2} n(n+1)$ を用いて、

$\begin{align} \displaystyle E(X) &= \sum_{i=1}^{n} x_{i} \cdot \frac{1}{n} \\ &= \frac{1}{2} n(n+1) \cdot \frac{1}{n} \\ &= \frac{n+1}{2} \end{align}$

となります。

分散

分散 $V(X)$ は、1次式の和の公式と2次式の和の公式 $\sum_{i=1}^{n} = \frac{1}{6} n(n+1)(2n+1)$ を用いて、

$\begin{align} \displaystyle E(X^{2}) &= \sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2} \cdot \frac{1}{n} \\ &=\frac{1}{6} n(n+1)(2n+1) \cdot \frac{1}{n} \\ &= \frac{(n+1)(2n+1)}{6} \end{align}$

$\begin{align} \displaystyle V(X) &= E(X^{2}) - E(X)^{2} \\ &= \frac{(n+1)(2n+1)}{6} - \left( \frac{n+1}{2} \right)^{2} \\ &= \frac{n^{2} - 1}{12} \end{align}$

となります。

5.6

確率変数 $X$ の密度関数 $f(x)$ は、次のように与えられます。

$\begin{equation} f(x) \begin{cases} 1 & (0 \le x \le 1) \\ 0 & (x \lt 0, 1 \lt x) \end{cases} \end{equation}$

累積分布関数

$X^{2}$ の累積分布関数 $P(X^{2} \le y)$ は、

$\begin{align} \displaystyle P(X^{2} \le y) &= P(- \sqrt{y} \le X \le \sqrt{y}) \\ &= \int_{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}} f(x) dx \\ &= \int_{0}^{\sqrt{y}} 1 \cdot dx \\ &= \sqrt{y} \end{align}$

と求まります。

密度関数

密度関数 $g(y)$ は、累積分布関数を微分したものであるため、

$\begin{align} \displaystyle g(y) &= \frac{dP}{dy} \\ &= \frac{d}{dy} \sqrt{y} \\ &= \frac{1}{2\sqrt{y}} \quad (0 \le y \le 1) \end{align}$

となります。

期待値

期待値 $E(Y)$ は、

$\begin{align} \displaystyle E(Y) &= \int_{-\infty}^{\infty} y \cdot g(y) dy \\ &= \int_{0}^{1} \frac{\sqrt{y}}{2} dy \\ &= \left[ \frac{y^{3/2}}{3} \right]_{0}^{1} \\ &= \frac{1}{3} \end{align}$

と求まります。

分散

$\begin{align} \displaystyle E(Y^{2}) &= \int_{-\infty}^{\infty} y^{2} \cdot g(y) dy \\ &= \int_{0}^{1} \frac{y^{3/2}}{2} dy \\ &= \left[ \frac{y^{5/2}}{5} \right]_{0}^{1} \\ &= \frac{1}{5} \end{align}$

となるため、分散 $V(Y)$ は、

$\begin{align} \displaystyle V(Y) &= E(Y^{2}) - E(Y)^{2} \\ &= \frac{1}{5} - \left( \frac{1}{3} \right) \\ &= \frac{4}{45} \end{align}$

と求まります。

5.7

確率変数 $X$ の密度関数 $f(x)$ は、次のように与えられます。

$\displaystyle f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp \left( - \frac{x^{2}}{2} \right)$

累積分布関数

$X^{2}$ の累積分布関数 $P(X^{2} \le y)$ は、

$\begin{align} \displaystyle P(X^{2} \le y) &= P(- \sqrt{y} \le X \le \sqrt{y}) \\ &= \int_{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}} f(x) dx \\ &= \int_{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp \left(- \frac{x^{2}}{2} \right) dx \end{align}$

で求めることができます。 $\exp \left(- \frac{x^{2}}{2} \right)$ は偶関数であるため、

$\begin{align} \displaystyle \int_{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp \left(- \frac{x^{2}}{2} \right) dx &= 2 \int_{0}^{\sqrt{y}} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp \left(- \frac{x^{2}}{2} \right) dx \\ &= 2 \left( \int_{-\infty}^{\sqrt{y}} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp \left(- \frac{x^{2}}{2} \right) dx - \int_{-\infty}^{0} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp \left(- \frac{x^{2}}{2} \right) dx \right) \end{align}$

ここで、ガウス積分の公式を用いると、

$\begin{align} \displaystyle \int_{-\infty}^{0} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp \left(- \frac{x^{2}}{2} \right) dx &= \int_{0}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp \left(- \frac{x^{2}}{2} \right) dx \\ &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \cdot \sqrt{\frac{\pi}{2}} \\ &= \frac{1}{2} \end{align}$

となるため、

$\begin{align} \displaystyle P(X^{2} \le y) &= 2 \left( \int_{-\infty}^{\sqrt{y}} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp \left(- \frac{x^{2}}{2} \right) dx - \int_{-\infty}^{0} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp \left(- \frac{x^{2}}{2} \right) dx \right) \\ &= 2 \left( \phi(\sqrt{y}) - \frac{1}{2} \right) \end{align}$

が得られます。ここで $\phi (y)$ は、標準正規分布の累積分布関数です。

密度関数

密度関数 $g(y)$ は、累積分布関数を微分したものです。

$\displaystyle \frac{d}{dy} \phi(y) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \exp \left( - \frac{y}{2} \right)$

を用いると、

$\begin{align} \displaystyle g(y) &= \frac{dP}{dy} \\ &= \frac{d}{dy} 2 \left( \phi(\sqrt{y}) - \frac{1}{2} \right) \\ &= 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{y}} \cdot \frac{d}{dy} \phi (\sqrt{y}) \\ &= \frac{1}{\sqrt{2 \pi y}} \exp \left( - \frac{y}{2} \right) \quad (y \ge 0) \end{align}$

となります。

期待値

期待値 $E(Y)$ は、

$\begin{align} \displaystyle E(Y) &= \int_{-\infty}^{\infty} y \cdot g(y) dy \\ &= \int_{0}^{\infty} y \cdot \frac{1}{\sqrt{2 \pi y}} \exp \left( - \frac{y}{2} \right) dy \end{align}$

で求めますが、 $y = x^{2}$ と $dy = 2x \cdot dx$ であることを利用し、 $x$ が $0 \le x \le \infty$ の域値であること（累積分布関数の算出で偶関数の性質を使うときに、 $x$ が負の領域を考慮して累積分布関数を2倍していること）に注意すると、

$\begin{align} \displaystyle E(Y) &= \int_{0}^{\infty} y \cdot \frac{1}{\sqrt{2 \pi y}} \exp \left( - \frac{y}{2} \right) dy \\ &= \sqrt{\frac{2}{\pi}} \int_{0}^{\infty} x^{2} \exp \left( - \frac{x^{2}}{2} \right) \\ &= \sqrt{\frac{2}{\pi}} \cdot \frac{1}{4} \sqrt{\frac{\pi}{\left( \frac{1}{2} \right)^{3} }} \\ &= 1 \end{align}$

となります（ガウス積分の公式を利用）。

分散

$\begin{align} \displaystyle E(Y^{2}) &= \int_{-\infty}^{\infty} y^{2} \cdot g(y) dy \\ &= \int_{0}^{\infty} y^{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2 \pi y}} \exp \left( - \frac{y}{2} \right) dy \\ &= \sqrt{\frac{2}{\pi}} \int_{0}^{\infty} x^{4} \exp \left( - \frac{x^{2}}{2} \right) dx \\ &= \sqrt{\frac{2}{\pi}} \frac{3}{8} \sqrt{\frac{\pi}{\left( \frac{1}{2} \right)^{5} }} \\ &= 3 \end{align}$

となるため、分散 $V(Y)$ は、

$\begin{align} \displaystyle V(Y) &= E(Y^{2}) - E(Y)^{2} \\ &= 3 - 1 \\ &= 2 \end{align}$

と求まります。

5.8

コインの投げた回数を $x$ 回として、表が出た回数について $x \to a$ の極限を取ることを考えます。

右極限 $x \to a + 0$ を取ると $P(X = a)$ となります。ただし、累積分布関数は $G(a) = P(X \lt a)$ と定義されるため、 $\displaystyle \lim_{x \to a + 0} G(a) = P(X \le a) \neq P(X \lt a)$ より、右連続ではありません。

一方で左極限 $x \to a - 0$ を取ると $P(X = a - 1)$ となります。ここで、累積分布関数は $G(a) = P(X \lt a)$ と定義されるため、 $\displaystyle \lim_{x \to a - 0} G(a) = P(X \le a-1) = P(X \lt a)$ より、左連続になります（コインを投げた回数が離散値を取ることに注意します）。